4．3.2　函数的极大值和极小值

　　[读教材·填要点]

　　1．极值与极值点

　　(1)极大值点与极大值：

　　设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)＜f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．

　　(2)极小值点与极小值：

　　设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)＞f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．

　　极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．

　　2．极大值与极小值的判断

　　(1)如果f(x)在(a，x0]上递增，在[x0，b)上递减，则f(x)在x＝x0处取到极大值；

　　(2)如果f(x)在(a，x0]上递减，在[x0，b)上递增，则f(x)在x＝x0处取到极小值．

　　3．极值的求法

　　(1)求导数f′(x)；

　　(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；

　　(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，得到极大值或极小值．

　　[小问题·大思维]

　　1．导数为0的点都是极值点吗？

　　提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．

　　2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？

　　提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．

　　所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.

3．函数y＝f(x)在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？