破解立体几何中的三共问题

1　破解立体几何中的三共问题

平面的基本性质是研究立体几何的基础，应用基本性质研究空间中的共点、共线、共面是立体几何中不容忽视的问题，下面就这类问题进行例析．

1．点共线问题

例1　如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C与截面DBC1交于点O，AC与BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线．

证明　因为C1∈平面DBC1，且C1∈平面A1ACC1，

所以C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．

又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1，

因为M∈BD，所以M∈平面DBC1，

所以M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，

所以C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．

因为O为平面A1ACC1与平面DBC1的交点，

所以O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，

即O也是两个平面的公共点，

所以O∈C1M，即C1、M、O三点共线．

说明　证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．

2．线共点问题

例2　如图，已知空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且＝＝2，求证：EG、FH、AC相交于同一点P.