2019-2020学年人教B版必修二 立体几何综合问题 学案
2019-2020学年人教B版必修二   立体几何综合问题   学案第1页



2019-2020学年人教A版必修二 立体几何综合问题 学案

典例精析

题型一 线面、面面平行与垂直

【例1】 如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.

(1)求证:FH∥平面EDB;

(2)求证:AC⊥平面EDB;

(3)求二面角B-DE-C的大小.

【解析】方法一:(综合法)(1)设AC与BD交于点G,则G为AC的中点.连接EG,GH,又H为BC的中点,所以GHAB.又EFAB,所以EFGH.

所以四边形EFHG为平行四边形. 所以EG∥FH.

而EG⊂平面EDB,所以FH∥平面EDB.

由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC,

又EF∥AB,所以EF⊥BC.

而EF⊥FB,所以EF⊥平面BFC,所以EF⊥FH,

所以AB⊥FH.

又BF=FC,H为BC的中点,所以FH⊥BC.

所以FH⊥平面ABCD. 所以FH⊥AC.

又FH∥EG,所以AC⊥EG.

又AC⊥BD,EG∩BD=G,所以AC⊥平面EDB.

(3)EF⊥FB,∠BFC=90°,所以BF⊥平面CDEF.

在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K,

则∠FKB为二面角B-DE-C的一个平面角.

设EF=1,则AB=2,FC=,DE=.

又EF∥DC,所以∠KEF=∠EDC.

所以sin∠EDC=sin∠KEF=.

所以FK=EFsin∠KEF=,tan∠FKB==.

所以∠FKB=60°.所以二面角B-DE-C为60°.

方法二:(向量法)因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥BC.

又EF∥AB. 所以EF⊥BC,又EF⊥FB,所以EF⊥平面BFC.

所以EF⊥FH,所以AB⊥FH.

又BF=FC,H为BC的中点,所以FH⊥BC.

所以FH⊥平面ABCD.

以H为坐标原点,为x轴正向,为z轴正向,建立如图所示坐标系.

设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0).

D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).

(1)设AC与BD交点为G,连接GE,GH,