典例精析

题型一　线面、面面平行与垂直

【例1】 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点.

(1)求证：FH∥平面EDB；

(2)求证：AC⊥平面EDB；

(3)求二面角B－DE－C的大小.

【解析】方法一：(综合法)(1)设AC与BD交于点G，则G为AC的中点.连接EG，GH，又H为BC的中点，所以GHAB.又EFAB，所以EFGH.

所以四边形EFHG为平行四边形. 所以EG∥FH.

而EG⊂平面EDB，所以FH∥平面EDB.

由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，

又EF∥AB，所以EF⊥BC.

而EF⊥FB，所以EF⊥平面BFC，所以EF⊥FH，

所以AB⊥FH.

又BF＝FC，H为BC的中点，所以FH⊥BC.

所以FH⊥平面ABCD. 所以FH⊥AC.

又FH∥EG，所以AC⊥EG.

又AC⊥BD，EG∩BD＝G，所以AC⊥平面EDB.

(3)EF⊥FB，∠BFC＝90°，所以BF⊥平面CDEF.

在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K，

则∠FKB为二面角B－DE－C的一个平面角.

设EF＝1，则AB＝2，FC＝，DE＝.

又EF∥DC，所以∠KEF＝∠EDC.

所以sin∠EDC＝sin∠KEF＝.

所以FK＝EFsin∠KEF＝，tan∠FKB＝＝.

所以∠FKB＝60°.所以二面角B－DE－C为60°.

方法二：(向量法)因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥BC.

又EF∥AB. 所以EF⊥BC，又EF⊥FB，所以EF⊥平面BFC.

所以EF⊥FH，所以AB⊥FH.

又BF＝FC，H为BC的中点，所以FH⊥BC.

所以FH⊥平面ABCD.

以H为坐标原点，为x轴正向，为z轴正向，建立如图所示坐标系.

设BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0).

D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1).

(1)设AC与BD交点为G，连接GE，GH，

则G(0，－1,0)，所以＝(0,0,1)，又＝(0,0,1)，

所以∥.