第二课时

自主整理

1.空间两个向量a和b的数量积是一个数,等于___________,记作a·b,即a·b=___________.

2.空间向量的数量积的运算律___________.

(1)交换律:a·b=___________;

(2)分配律:a·(b+c)=___________;

(3)λ(a·b)=(λ∈R)___________.

3.(1)|a|=___________;

(2)a⊥b___________;

(3)cos〈a,b〉=(a≠0,b≠0)___________.

4.对于任意一个非零向量a,我们把叫作向量a的单位向量,记作.与a同方向.

高手笔记

1.数量积是数量,可以是正数,也可以是负数或零,它没有方向,可以比较大小.a与b的数量积的几何意义是:向量a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos〈a,b〉的乘积.

2.利用两个向量的夹角为,判断空间直线的垂直是向量在立体几何中的重要应用之一.

3.根据空间两个向量的数量积的定义:a·b=|a||b|cos〈a,b〉,那么空间两个向量a,b的夹角的余弦cos〈a,b〉=,这个公式可用来求空间两直线所成的角.

4.在空间两个向量的数量积中,特别地a·a=|a||a|cos0°=|a|2,所以向量a的模|a|=,这个公式可用来求空间中线段的长度.

将其推广为:|a±b|=

()2;

|a+b+c|=

=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a.

5.对于三个不为0的向量,若a·b=a·c,不能得出b=c,即向量不能约分.

6.若a·b=k,不能得出a=或b=,即向量不能进行除法运算.

7.对于三个不为0的向量,(a·b)c≠a(b·c),即向量的数量积不满足结合律.

名师解惑

1.如何利用向量知识求线段的长度?

剖析:将所求线段用向量表示,转化为求向量的模的问题.一般可以先选好基底,用基向量表示所求向量,然后利用|a|2=(a)2来求解.选择基底时,应注意三个基向量两两之间的夹角应该是确定的,已知的或可以求出的.具体求模时,可分为两种不同情况:

(1)不建坐标系,直接进行向量运算;

(2)建立坐标系,用距离公式求线段长度.

2.如何利用空间向量知识求异面直线所成的角?

剖析:异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量,计算两个方向向量的夹角得到,具体计算时可以用基向量表示,也可以用坐标运算进行.但在求异面直线所成的角时,应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别:如果两向量夹角为锐角或直角,则异面直线所成的角等于