3.2　空间向量基本定理

学习目标 重难点 1．能记住空间向量基本定理及其意义．

2．能说出空间向量的正交分解及其坐标表示．

3．会用一组基底表示向量，能计算一个向量在另一个向量上的投影. 重点：空间向量的坐标表示．

难点：将平面向量的坐标表示推广到空间向量．

关键：抓住空间向量的坐标表示这一根本. 　　

　　1．空间向量的标准正交分解与坐标表示

　　(1)在给定的空间直角坐标系中，令i，j，k分别为____________上的单位向量，对于空间任意向量a，______一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝______________.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的____________，把i，j，k叫作____________．

　　(2)(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作__________．a＝(x，y，z)叫作向量a的________．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，z)，向量\s\up6(→(→)的坐标也是________．

　　预习交流1

　　议一议：空间点的坐标和空间的点为何是一一对应的？

　　2．向量a在向量b上的投影

　　一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|·cos 〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．可见，向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．

　　预习交流2

　　做一做：求证向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．

　　3．空间向量基本定理

　　(1)如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．

　　(2)特别地，当向量e1，e2，e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解．当e1＝i，e2＝j，e3＝k时，就是标准正交分解．

　　预习交流3

　　证一证：求证：满足a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3中的λ1，λ2，λ3是唯一的．

　　答案：1．(1)x轴，y轴，z轴正方向　存在唯一　xi＋yj＋zk　标准正交分解　标准正交基　(2)a＝(x，y，z)　坐标表示　(x，y，z)

　　预习交流1：提示：在空间直角坐标系中，过空间点M向平面xOy引垂线，有且只有一条，设垂足为N，而N在xOy面内的横纵坐标都是唯一的，所以空间点的坐标和空间点是一一对应的．即在空间直角坐标系O ­xyz中，对空间任一点M，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使\s\up6(→(→)＝xi＋yj＋zk，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．

　　预习交流2：提示：设a＝xi＋yj＋zk，

　　∴a·i＝xi·i＋yj·i＋zk·i，由于i⊥j，k⊥i，

　　∴i·j＝0，k·i＝0，

又|i|2＝i·i＝1，