绿色通道

直接求两个向量的数量积时,应选取好基底,三个基向量的选取很重要,一般要保证三个向量两两之间夹角已知或可求,最好是特殊角,然后利用定义求解.

变式训练

1.已知在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC.

证明:因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,

所以△OAC≌△OAB.

所以∠AOC=∠AOB.

因为

=cos∠AOC-cos∠AOB=0.

所以OA⊥BC.

【例2】如图所示,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA与BC夹角的余弦值.

解析：求异面直线所成的角,可以用常规方法,也可以用向量夹角公式求解,cos〈,〉=,应先求出·.

答案：因为=-,

所以·=·-·

=||·||·cos〈,〉-||·||·cos〈,〉

=8×4×cos135°-8×6×cos120°

=24-162.

所以cos〈,〉=

=.