§3.2　均值不等式

第1课时　均值不等式

学习目标　1.理解均值不等式的内容及证明.2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式.

知识点一　算术平均值与几何平均值的概念

思考　如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？

答案　PO＝＝.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ2＝AQ·QB，即PQ＝.

梳理　一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均值，为a，b的几何平均值.两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≤.其几何意义如上图中的PO≥PQ.

知识点二　均值定理及其常见推论

思考　如何证明不等式≤(a>0，b>0)?

答案　∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，

∴a＋b≥2，

∴≤，

当且仅当a＝b时，等号成立.

梳理　1.均值定理

如果a，b∈R＋，那么≥.当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值定理