又叫均值不等式.

均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.

2.常见推论

(1)ab≤2≤(a，b∈R)；

(2)＋≥2(a，b同号)；

(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).

1.对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立.(　×　)

2.若a≠0，则a＋≥2＝4.(　×　)

3.若a>0，b>0，则ab≤2.(　√　)

类型一　常见推论的证明

例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).

证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，

∴a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立).

引申探究

证明不等式2≤(a，b∈R).

证明　由例1，得a2＋b2≥2ab，

∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，

两边同除以4，即得2≤，

当且仅当a＝b时，取等号.

反思与感悟　使用作差法与不等式性质是证明不等式中常用的方法.

跟踪训练1　已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

证明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，

∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立.

类型二　用均值不等式证明不等式