函数的最大(小)值与导数

[学习目标]　1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.

知识点一　函数最值的概念

如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为函数的定义域上的最大值.

如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为函数在定义域上的最小值.

思考　函数的极值与最值的区别是什么？

答案　函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.

函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.

当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间.

知识点二　求函数的最值

1.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤：

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

2.函数在开区间(a，b)的最值

在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.

思考　(1)函数f(x)＝在(1,2)上有最值吗？

(2)函数f(x)＝ln x在[1,2]上有最值吗？

答案　(1)没有.

(2)有最大值ln 2，最小值0.