2019-2020学年北师大版选修2-2 函数的最大小值与导数 学案

题型一　求函数的最值

例1　求下列各函数的最值：

(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；

(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].

解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，

令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，

得x＝－1，x＝0，x＝1.

当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60  极大值4  极小值3  极大值4  －5

∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；

当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.

(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，

∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数.故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；

x＝1时，f(x)最大值＝2.

即f(x)的最小值为－12，最大值为2.

反思与感悟　一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数f(x)不一定有最大值与最小值.

跟踪训练1　设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.

(1)求a，b，c的值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值.

解　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).

即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.

∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴a＞0，b＝－12.