2018-2019学年苏教版选修2-2 2.3 第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题 学案
2018-2019学年苏教版选修2-2       2.3  第二课时  利用数学归纳法证明几何、整除等问题   学案第1页

  第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题

  

  

  

利用数学归纳法证明几何问题   [例1] 平面内有n(n∈N )个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,用数学归纳法证明:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分.

  [思路点拨] 分清当n从k变到k+1时,增加了几部分.

  [精解详析] (1)当n=1时,f(1)=12-1+2=2,

  一个圆把平面分成两部分,命题成立.

  (2)假设n=k(k∈N )时,命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.

  当n=k+1时,第k+1个圆与其他k个圆相交于2k个点.

  第k+1个圆被分成2k条弧,而每条弧把原区域分成2块,因此这个平面被分成的总区域数增加了2k块,

  即f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,

  故当n=k+1时命题也成立.

  根据(1)和(2),可知命题对任何n∈N 都成立.

  [一点通] 用数学归纳法证明几何问题的关键是"找项",即几何元素从k个变成(k+1)个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧.

  

  1.几个半圆的圆心在同一条直线l上,这几个半圆每两个都相交,且都在直线l的同侧,求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f(n)=n2.(n≥2,n∈N ).

  证明:

  

  (1)如图,n=2时,两个半圆交于一点,

  则分成4段圆弧,故f(2)=4=22.

(2)假设n=k时,f(k)=k2成立,