2018-2019学年苏教版选修2-2 2.3 第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题 学案
2018-2019学年苏教版选修2-2       2.3  第二课时  利用数学归纳法证明几何、整除等问题   学案第3页

  (2)假设n=k时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,

  ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2·(a+1)2k-1

  =a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1

  =a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1.

  由归纳假设知,上式中的两部分均能被a2+a+1整除,

  故n=k+1时命题成立.

  根据(1)(2)知,对任意n∈N ,命题成立.

  3.用数学归纳法证明:当n为正整数时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.

  证明:(1)当n=1时,f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.

  (2)假设当n=k(k≥1,k∈N )时,

  f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.

  则当n=k+1时,f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9

  =9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9

  =9(32k+2-8k-9)+64(k+1)

  =9f(k)+64(k+1).

  ∴n=k+1时命题也成立.

  由(1)(2)可知,对任意的n∈N ,命题都成立.

归纳--猜想--证明   [例3] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N ).

  (1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;

  (2)证明你的猜想,并求出an的表达式.

  [思路点拨] →→

  [精解详析] (1)∵an=Sn-Sn-1(n≥2),

∴Sn=n2(Sn-Sn-1).