高手支招3综合探究

进行复数的除法运算的步骤

利用复数的除法定义:把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)的复数 x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,记作(a+bi)÷(c+di)或,从而利用复数相等求得x,y的值即可.

∵(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得

解这个方程组得

于是有(a+bi)÷(c+di)=.

在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简后,也可以得出上面的结果.

高手支招4典例精析

【例1】已知=1-ni,其中m、n是实数,i是虚数单位,则m+ni=（ ）

A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i

思路分析:可先将=1-ni去分母后展开化简,再利用复数相等解之.

本题也可将等式左边分母实数化,再利用复数相等解之.

将=1-ni两边同乘以1+i,得m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,由复数相等法则,得从而所以m+ni=2+i.

答案:C

【例2】复数=( )

A.i B.-I C.2-I D.-2+i

思路分析:此题可以直接进行分母"有理化"(即分子分母同乘以分母的共轭复数),化简解得,或由观察得出:将分子化简后,分母乘以i则可以得到分子,从而解得.原式=.

答案:A

【例3】 若复数z=+i,则1+z+z2+z3+...+z2 006( )