高手支招3综合探究

1.含有参数形式的复数何时表示实数、虚数、纯虚数.

此类问题是涉及到复数的分类及各自概念,在理解的基础上注意它们的联系与区别,以此作为判断它们为实数、虚数、纯虚数的条件.

复数z=a+bi当且仅当b≠0时为虚数,当且仅当b=0时为实数,当且仅当a=0,b≠0为纯虚数,当且仅当a=0,b=0时为0.

下面以3m+9+(m2+5m+6)i,m为何值时表示实数、虚数、纯虚数为例说明.

(1)若表示实数则:m2+5m+6=0(即虚部必须为零);

(2)若表示虚数则:m2+5m+6≠0(即虚部不能为零);

(3)若表示纯虚数则:3m+9=0且m2+5m+6≠0(即实部必须为零,虚部不能为零).

2.两个复数相等的充要条件及应用时应特别注意的问题.

因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量相等来理解.在向量坐标表示中,两个向量相等则对应坐标要相等.

两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等.

在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a、b、c、d∈R,即当a、b、c、d∈R时,a+bi=c+di但忽略条件后,则不能成立,因此解决复数相等问题,一定要把复数的实部与虚部分离出来.再利用复数相等的充要条件,化复数问题为实数问题.

3.复系数一元二次方程根的问题与实系数一元二次方程根的问题.

利用复数相等可解决复系数方程根的问题,如果复系数方程有实根,我们将其中的未知数视为等式中的一个实数,将方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.这里要特别注意,方程有实根务必注意不能用判别式Δ≥0来处理方程的根的问题,否则出错.

如果复系数一元二次方程无实根,则同样不能用Δ<0来处理.此时,方程有复数根,可设方程的根为z=m+ni(m,n∈R),然后,化简方程,使方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.

另外,当实系数一元二次方程无实根时,方程的判别式Δ<0,此时虽无实根,但有虚数根,如实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)无实根,则其有两个虚根,分别为:x=.

当然,也可以设方程的根为z=m+ni(m,n∈R),然后,化简方程,使方程变形化简为s+ti=0(s,t∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.

高手支招4典例精析

【例1】 如果用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,那么有（ ）

A.C＝R∪I B.R∩I＝{０} C.R＝C∩I D.R∩I＝

思路分析:复数系的构成是

复数z=a+bi(a,b∈R)

由此不难判断正确答案为D项.

答案:D

【例2】 若z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+isinθ,当z1=z2时θ的值为（ ）