§2.2　双曲线

2.2.1　双曲线及其标准方程

学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．

知识点一　双曲线的定义

思考　若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？

答案　如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数(小于|F1F2|)；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数(小于|F1F2|)，可得到另一条曲线．

梳理　(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

(2)关于"小于|F1F2|"：①若将"小于|F1F2|"改为"等于|F1F2|"，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将"小于|F1F2|"改为"大于|F1F2|"，其余条件不变，则动点轨迹不存在．

(3)若将"绝对值"去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．

(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．

知识点二　双曲线的标准方程

思考　双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？

答案　双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．

梳理　(1)双曲线两种形式的标准方程