2019-2020学年人教B版选修2-1 定点与定值问题 学案
2019-2020学年人教B版选修2-1        定点与定值问题     学案第2页

轴上,|AM|≠|AN|.

(1)求椭圆C的方程;

(2)证明:直线MN过定点.

(1)解 圆x2+y2=4与x轴交于点(±2,0),

即为椭圆的焦点,圆x2+y2=4与y轴交于点(0,±2),

即为椭圆的上下两顶点,所以c=2,b=2.

从而a=2,因此椭圆C的方程为+=1.

(2)证明 设直线MN的方程为y=kx+m.

消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2=.

直线AM的斜率k1==k+;

直线AN的斜率k2==k+.

k1+k2=2k+

=2k+=.

由∠MAN的平分线在y轴上,得k1+k2=0.

又因为|AM|≠|AN|,所以k≠0,所以m=1.

因此,直线MN过定点(0,1).

题型二 定值问题

例2(2018·北京)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.

(1)求直线l的斜率的取值范围;

(2)设O为原点,\s\up6(→(→)=λ\s\up6(→(→),\s\up6(→(→)=μ\s\up6(→(→),求证:+为定值.

(1)解 因为抛物线y2=2px过点(1,2),

所以2p=4,即p=2.

故抛物线C的方程为y2=4x.