题型一　参数方程及其求法

1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.

2.求曲线参数方程的主要步骤：

第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.

第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定.

第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.

【例1】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为 rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.

解　如图所示，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知

又θ＝t (t的单位：S)，故参数方程为

【反思感悟】 以时间t为参数，在图形中分别寻求动点M的坐标和t的关系.

1.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形(按逆时针方向转，如图所示)，求点P的轨迹方程.

解　以O点为原点，过点O且与l垂直的直线为x轴，过点O与l平行的直线为y轴建立直角坐标系.设点O到直线l的距离为d(