2018-2019学年苏教版选修2-2 2.1.3 推理案例赏析 学案
2018-2019学年苏教版选修2-2          2.1.3  推理案例赏析   学案第3页

(d) 10 15 7   (2)观察:3+2-3=2;8+6-12=2;6+5-9=2;10+7-15=2,

  通过观察发现,它们的顶点数V,边数E,区域数F之间的关系为V+F-E=2.

  (3)由已知V=999,F=999,代入上述关系式得E=1 996,故这个平面图形有1 996条边.

类比推理的应用   

  [例2] 通过计算可得下列等式:

  23-13=3×12+3×1+1;

  33-23=3×22+3×2+1;

  43-33=3×32+3×3+1;

  ...

  (n+1)3-n3=3×n2+3×n+1.

  将以上各等式两边分别相加,得

  (n+1)3-13=3(12+22+...+n2)+3(1+2+3+...+n)+n,

  即12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1).

  类比上述求法,请你求出13+23+33+...+n3的值.

  [思路点拨] 类比上面的求法;可分别求出24-14,34-24,44-34,...(n+1)4-n4,然后将各式相加求解.

  [精解详析] ∵24-14=4×13+6×12+4×1+1,

  34-24=4×23+6×22+4×2+1,

  44-34=4×33+6×32+4×3+1,

  ...

  (n+1)4-n4=4×n3+6×n2+4×n+1.

  将以上各式两边分别相加,

  得(n+1)4-14=4×(13+23+...+n3)+6×(12+22+...+n2)+4×(1+2+...+n)+n

  ∴13+23+...+n3=·=n2(n+1)2.

[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比,从而产生解题方法的迁移,这是数学学习中很高的境界,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.