2019-2020学年北师大版必修二 空间几何体的表面积与体积 教案
2019-2020学年北师大版必修二    空间几何体的表面积与体积   教案第2页

所以=+VD-ABC=V.

故油最理想的剩余量为V.

【点拨】将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体,然后求出这些规则几何体的体积,这是求几何体体积的一种常用的思想方法.

【变式训练2】一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器,里面装满水,一铁球沉入水内,有水溢出,容器盖上一平板,恰与球相切,问容器内剩下的水是原来的几分之几?

【解析】设球的半径为R,则圆锥的高h=3R,底面半径r=R,

V圆锥=·(R)2·3R=3πR3;V球=πR3.

所以==,

所以剩下的水量是原来的1-=.

【点拨】本题关键是求圆锥与球的体积之比,作出轴截面,找出球半径和圆锥高、底面半径的关系即可.

题型三 组合体的面积、体积的关系

【例3】底面直径为2,高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱,设这个长方形截面的一条边长为x,对角线长为2,截面的面积为A,如图所示:

(1)求面积A以x为自变量的函数式;

(2)求截得棱柱的体积的最大值.

【解析】 (1)A=x· (0<x<2).

(2)V=x··1= =.

因为0<x<2,所以当x=时,Vmax=2.

【点拨】关键是理解截面,并且注意x的范围从而求体积,在求第(2)求体积时还可利用不等式.

【变式训练3】(2010山东检测)把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为(  )

A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π

【解析】设长方形的一条边长为x cm,则另一条边长为(6-x) cm,且0<x<6,以长为(6-x) cm的边作为围成的圆柱的高h,若设圆柱的底面半径为r,则有2πr=x,所以r=,因此圆柱的体积V=π·()2(6-x)=(6x2-x3),由于V′=·(12x-3x2),令V′=0,得

x=4,容易推出当x=4时圆柱的体积取得最大值,此时圆柱的底面周长是4 cm,圆柱的高是2 cm,所以圆柱的底面周长与高的比为2∶1,选C.

总结提高