1.求曲线y=在点M(3,3)处的切线斜率及倾斜角.

解析:点M处切线的斜率k=f′(3),斜率和倾斜角α的关系为k=tanα.

解:∵

=,

∴=f′(3)=-1.

∴切线斜率为-1,倾斜角为135°.

【例2】求曲线y=x2上过哪一点的切线

(1)平行于直线y=4x-5?

(2)垂直于直线2x-6y+5=0?

(3)与x轴成135°的倾斜角?

解析：设切点坐标为(x0,y0),根据导数的几何意义,求出切线的斜率,然后利用直线平行、垂直的条件求出切点坐标.

解：设P(x0,y0)是满足条件的点,

f′(x0)==2x0.

(1)∵切线与直线y=4x-5平行,

∴令2x0=4.解得x0=2,y0=4,即P(2,4).

(2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,

∴令2x0×=-1.解得x0=,y0=,即P(,).

(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角,

∴其斜率为-1.令2x0=-1,得x0=,y0=,即P(,).

黑色陷阱

本题所求的点在已知曲线上,其导数值就是过该点的切线斜率,要注意对所给点与曲线关系的判断,若点不在曲线上,则不能求导得斜率.

变式训练

2.求函数y=x2在哪一点处的切线平行于直线x-y+3=0?

解析:切线平行于直线,则切线斜率k与直线斜率k相等,即k=1.

解:直线x-y+3=0,即y=x+3,它的斜率k=1.

设函数y=x2在x=x0处的切线斜率为1.

∵f′(x0)=x0,

∴令x0=1,解得x0=2.