考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　全称命题的符号表示

解　(1)∀x∈R，x2≥0.

(2)∃x0<0，ax＋2x0＋1＝0(a<0)．

(3)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.

类型二　全称命题与特称命题的真假判断

例2　判断下列命题的真假．

(1)∃α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；

(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；

(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；

(4)存在一个实数x0，使等式x＋x0＋8＝0成立．

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　特称命题真假的判断

解　(1)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．

(2)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．

(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．

(4)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．

反思与感悟　要判定全称命题"∀x∈M，p(x)"是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．

要判定特称命题"∃x0∈M，p(x0)"是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．

跟踪训练2　判断下列命题的真假：

(1)有一些奇函数的图象过原点；

(2)∃x0∈R,2x＋x0＋1<0；

(3)∀x∈R，sin x＋cos x≤.

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　特称命题真假的判断

解　(1)该命题中含有"有一些"，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

(2)该命题是特称命题．

∵2x＋x0＋1＝22＋≥>0，

∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1<0.