精选例题

变化率与导数

1. 已知一物体的运动方程是 s=6t^2-5t+7，则该物体在 t= 时的瞬时速度为 7．

【答案】 1

【分析】 lim┬(Δt→0) (s(t+Δt)-s(t))/Δt=lim┬(Δt→0) (6Δt+12t-5)=12t-5=7，

所以 t=1．

2. y=x^2-2x+3 在 x=2 附近的平均变化率是 ．

【答案】 2+Δx

【分析】 Δy=(2+Δ)^2-2(2+Δx)+3-(2^2-2×2+3)=(Δx)^2+2Δx

3. 若 fʹ(x)=3，则 lim┬(Δx→0) (f(x+2Δx)-f(x))/Δx= ．

【答案】 6

【分析】 ■(&lim┬(Δx→0) (f(x+2Δx)-f(x))/Δx@=&lim┬(Δx→0) [2⋅(f(x+2Δx)-f(x))/2Δx]@=&2 lim┬(Δx→0) (f(x+2Δx)-(fx))/2Δx@=&2fʹ(x)@=&6.)

4. 一物体运动的位移 s 和时间 t 的关系是 s=2t-3t^2，则物体的初速度是 ．

【答案】 2

【分析】 平均速度 =(s(t)-s(0))/t=2-3t，

当 t 趋于 0 时，瞬时速度为 2，即初速度为 2．

5. 已知曲线 f(x)=2x^2+1 在点 M(x_0,y_0 ) 处的瞬时变化率为 -4，则点 M 的坐标为 ．

【答案】 (-1,3)

【分析】 lim┬(Δx→0) (f(x_0+Δx)-f(x_0 ))/Δx=lim┬(Δx→0) (2Δx+4x_0 )=4x_0=-4，

所以 x_0=-1，