当点 P_n 趋近于点 P(x_0,f(x_0 )) 时,割线 PP_n 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线(tangent line).割线 PP_n 的斜率是
k_n=(f(x_n )-f(x_0 ))/(x_n-x_0 ) .
当点 P_n 无限趋近于点 P 时, k_n 无限趋近于切线 PT 的斜率.函数 f(x) 在 x_0 处的导数 fʹ(x_0 ) 的几何意义,就是曲线 y=f(x) 在点 (x_0,f(x_0 )) 处的导数就是切线 PT 的斜率 k ,即
k=fʹ(x_0 )=lim┬(Δx→0) (f(x_0+Δx)-f(x_0 ))/Δx .
导函数
如果 f(x) 在开区间 (a,b) 内每一点 x 处都是可导的,则称 f(x) 在区间 (a,b) 可导,在区间 (a,b) 内, fʹ(x) 构成一个新函数,我们把这个函数称为函数 f(x) 的导函数(derivative function)(简称为导数). y=f(x) 的导函数有时也记作 yʹ ,即 fʹ(x)=yʹ=lim┬(Δx→0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx .