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当点  P_n  趋近于点  P(x_0,f(x_0 ))  时，割线  PP_n  趋近于确定的位置，这个确定位置的直线  PT  称为点  P  处的切线（tangent line）．割线  PP_n  的斜率是

 k_n=(f(x_n )-f(x_0 ))/(x_n-x_0 ) .

当点  P_n  无限趋近于点  P  时， k_n  无限趋近于切线  PT  的斜率．函数  f(x)  在  x_0  处的导数  fʹ(x_0 )  的几何意义，就是曲线 y=f(x) 在点 (x_0,f(x_0 )) 处的导数就是切线  PT  的斜率  k ，即

k=fʹ(x_0 )=lim┬(Δx→0) (f(x_0+Δx)-f(x_0 ))/Δx .

导函数

如果 f(x) 在开区间 (a,b) 内每一点  x  处都是可导的，则称  f(x)  在区间  (a,b)  可导，在区间  (a,b)  内， fʹ(x)  构成一个新函数，我们把这个函数称为函数  f(x)  的导函数（derivative function）（简称为导数）． y=f(x)  的导函数有时也记作  yʹ ，即  fʹ(x)=yʹ=lim┬(Δx→0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx ．