(4)∵y=,

∴y′==.

绿色通道

利用导数的求解公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.

变式训练

2.求下列函数的导数:

(1)y=;(2)y=;(3)y=.

解析:三个函数都可以化为y=xα(α是实数)的形式,(1)y=;(2)y=x-1.然后利用公式y′=αxα-1求导数.

解:由导数公式表,得

(1)∵y=,∴y′==.

(2)∵y=x-1,∴y′=-x-2=.

(3)y′==.

【例3】已知曲线C:y=x3.

(1)求曲线C上横坐标为1处的切线方程;

(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?

解析:(1)利用求导公式求出导函数,然后求出f′(1)即为切线的斜率,进而求切线的方程;(2)利用方程组的解与曲线交点的关系,判断公共点的个数.

解:(1)由导数公式表,得f′(x)=3x2,

∴f′(1)=3.

由点斜式,得切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

(2)由消去y并整理,得(x-1)(x2+x-2)=0.

解得x1=1,x2=-2.

∴公共点为P(1,1)或P(-2,-8).

因此,切线与曲线C的公共点除了切点P(1,1)外,还有另外一点P(-2,-8).

黑色陷阱

很多同学误以为切线与曲线只能有一个公共点,从而利用方程组有且只有一个解来解决问题.实际上直线与曲线相切是一个局部问题,它们不一定只有一个公共点.

变式训练

3.求余弦曲线y=cosx在点x=处的切线方程.