1．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.

　　证明：∵

　　＝·[()2＋()2＋()2]

　　≥

　　＝(a＋b＋c)2，

　　即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，

　　又a，b，c∈R＋，

　　∴a＋b＋c>0，

　　∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立。

　　　　　设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝＋＋ 的最大值．

　　[精讲详析]　本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号．

　　根据柯西不等式

　　120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]

　　≥(1×＋1×＋1×)2，

　　故＋＋≤2.

　　当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，

　　即x＝，y＝，z＝时，等号成立，此时umax＝2.

　　利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．

　　2．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋ 的最大值．

解：由柯西不等式，得