类型一 定点问题

如图，椭圆＋＝1(a>b>0)过点P，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，M，N是直线上的两个动点，且·＝0．

(1)求椭圆的方程； (2)求MN的最小值；

(3)求以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．

【解】(1)因为e＝＝，且过点P，所以解得

所以椭圆方程为＋＝1．

(2)由题可设点M(4，y1)，N(4，y2)．

又知F1(－1，0)，F2(1，0)，则＝(5，y1)，＝(3，y2)．

所以·＝15＋y1y2＝0，y1y2＝－15，y2＝－．

又因为MN＝|y2－y1|＝＝＋|y1|≥2，当且仅当|y1|＝|y2|＝时取等号，

所以MN的最小值为2．

(3)设点M(4，y1)，N(4，y2)，所以以MN为直径的圆的圆心C的坐标为，半径r＝，所以圆C的方程为(x－4)2＋2＝，

整理得x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋16＋y1y2＝0．

由(2)得y1y2＝－15，所以x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋1＝0，