Sn＝f(n) n(2i)·Δx

＝ (n)2＋1(2i)·n(2)＝n3(8)i(n)2＋2

＝n3(8)(12＋22＋...＋n2)＋2

＝n3(8)·6(n(n＋1)＋2

＝3(4)n2(1)＋2.

(3)取极限

S＝limn→∞Sn＝limn→∞ ＋2(1)＝3(14)，

即所求曲边梯形的面积为3(14).

反思与感悟 求曲边梯形的面积

(1)思想：以直代曲．

(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．

(3)关键：近似代替．

(4)结果：分割越细，面积越精确．

(5)求和时可用一些常见的求和公式，如

1＋2＋3＋...＋n＝2(n(n＋1)，

12＋22＋32＋...＋n2＝6(n(n＋1)，

13＋23＋33＋...＋n3＝2(n(n＋1)2.

跟踪训练1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．

考点 求曲边梯形的面积问题

题点 求曲边梯形的面积问题

解 (1)分割

将区间[0,1]等分为n个小区间：

n(1)，n(2)，n(3)，...，n(i)，...，，1(n－1)，其中i＝1,2，...，n，每个小区间的长度为

Δx＝n(i)－n(i－1)＝n(1).