f(x)在(-∞,),(,1),(1,+∞)上为增函数,f(x)在(,)上为减函数.

(2)当0＜a≤2时,由(1)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)＞f(0)=1.

当a＞2时,取x0=∈(0,1),则由(1)知:f(x0)＜f(0)=1,

当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有＞1且e-ax≥1,得f(x)=e-ax≥＞1.

综上所述,当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)＞1.

【例2】 设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0)和(1,+∞)上都是增函数,求a的取值范围.

思路分析:先求出与函数f(x)对应的一元二次方程的判别式Δ,然后分Δ=0、Δ＜0、Δ＞0三种情况分别进行讨论.

解:f′(x)=3x2-2ax+(a2-1),其对应方程的判别式Δ=4a2-12a2+12=12-8a2.

(1)若Δ=12-8a2=0,即a=±,当x∈(-∞,)或x∈(,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)在(-∞,+∞)为增函数.所以a=±满足要求.

(2)若Δ=12-8a2＜0,恒有f′(x)＞0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,所以a2＞,即a∈(-∞,)∪(,+∞)也满足要求.

(3)若Δ=12-8a2＞0,即＜a＜,令f′(x)=0,解得x1=,x2=.

当x∈(-∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f′(x)＜0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a＜.由x2≤1得≤3-a,解得＜a＜,从而a∈[1,).

综上,a的取值范围为(-∞,]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(-∞,]∪[1,∞).

【例3】当x∈(0,)时,证明：tanx＞x.

思路分析:首先构造函数f(x)=tanx-x,然后判断f(x)在(0,)上的单调性.