联立消y整理得(4+2)x2-4k1x-1=0,

由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-,

所以|AB|=|x1-x2|=.

由题意可知圆M的半径

r=|AB|=·.

由题设知k1k2=,所以k2=,

因此直线OC的方程为y=x.

联立得x2=,y2=,

因此|OC|==.

由题意可知sin==,

而==,

令t=1+2,则t>1,∈(0,1),

因此=·=·

=·≥1,

当且仅当=,即t=2时等号成立,此时k1=±,

所以sin≤,

因此≤,所以∠SOT的最大值为.

综上所述:∠SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率k1=±.

3.(2018课标全国Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;

(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.

解析　(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.

当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).(1分)

由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.

因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)

将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.

解得y=0或y=,所以y1=.(4分)

因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(5分)

(2)由题意,t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+) 代入+=1得(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.(7分)

由x1·(-)=得x1=,

故|AM|=|x1+ |=.(8分)

由题设,直线AN的方程为y=-(x+),

故同理可得|AN|=.(9分)

由2|AM|=|AN|得=,

即(k3-2)t=3k(2k-1).

当k=时上式不成立,因此t=.(10分)

t>3等价于=<0,即<0.(11分)

由此得或

解得

因此k的取值范围是(,2).(12分)

教师用书专用(4-15)

4.(2018四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)

A.2 B.3 C. D.

答案　B