5.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　.

答案　

6.(2018山东,21,14分)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

(i)求证:点M在定直线上;

(ii)直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2.求的最大值及取得最大值时点P的坐标.

解析　(1)由题意知=,可得a2=4b2.

因为抛物线E的焦点F的坐标为,

所以b=,所以a=1.

所以椭圆C的方程为x2+4y2=1.

(2)(i)设P(m>0).

由x2=2y,可得y'=x,

所以直线l的斜率为m.

因此直线l方程为y-=m(x-m),即y=mx-.

设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).

联立

得(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0.

由Δ>0,得0

且x1+x2=,因此x0=.

将其代入y=mx-,得y0=.

因为=-,

所以直线OD方程为y=-x.

联立得点M的纵坐标yM=-,

所以点M在定直线y=-上.

(ii)由(i)知直线l方程为y=mx-.

令x=0,得y=-,所以G.又P,F,D,

所以S1=·|GF|·m=,

S2=·|PM|·|m-x0|=××=.

所以=.

设t=2m2+1.

则===-++2,

当=,即t=2时,取到最大值,

此时m=,满足(*)式,

所以P点坐标为.

因此的最大值为,此时点P的坐标为.

7.(2018课标全国Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.

(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;

(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.

解析　(1)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故