最大值与最小值 当x=2kπ+(k∈Z)时,最大值为0;

当x=2kπ+(k∈Z)时,最小值为-2 思路2

例1 求函数y=的定义域.

活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图像,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正学生出现的一些错误或书写不规范等.

解:由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠+2kπ(k∈Z).

∴原函数的定义域为{x|x≠+2kπ,k∈Z}.

点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线直接写出结果.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.

2.在下列区间中,函数y=sin(x+)的单调增区间是( )

A.［,π］ B.［0,］ C.［-π,0］ D.［,］

活动:函数y=sin(x+)是一个复合函数,即y=sin［φ(x)］,φ(x)=x+,欲求y=sin(x+)的单调增区间,因φ(x)=x+在实数集上恒递增,故应求使y随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+看成一个整体,其道理是一样的.

解:∵φ(x)=x+在实数集上恒递增,又y=sinx在［2kπ-,2kπ+］(k∈Z)上是递增的,故令2kπ-

≤x+≤2kπ+.∴2kπ-≤x≤2kπ+.∴y=sin(x+)的递增区间是［2kπ-,2kπ+］.

取k=-1、0、1分别得［-,］、［-,］、［,］.

答案:B

点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图像变换等手段更快地解出.

解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:

(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x的式子,并求出x的范围;(5)得到x的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.

结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断.

变式训练

1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )

A.T=2,θ= B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=