当x∈［,］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值由1减小到-1.

结合正弦函数的周期性可知:

正弦函数在每一个闭区间［-+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.

对问题⑤,学生能直观地得出正弦曲线关于原点O对称.在R上,y=sinx为奇函数.教师要恰时恰点地引导,并提问学生怎样用学过的知识方法给予证明呢?

由诱导公式,∵sin(-x)=-sinx,

∴y=sinx为奇函数.

至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔.

讨论结果:①略.

②定义域为R.

③值域为［-1,1］,最大值是1,最小值是-1.

④单调性(略).

⑤奇偶性(略).

应用示例

思路1

1.函数y=-3sin2x,x∈R有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.

解:令z=2x,使函数y=-3sinz,z∈R取得最大值的z的集合是{z|z=-+2kπ,k∈Z},

由2x=z=-+2kπ,得x=-+kπ.

因此使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=-+kπ,k∈Z}.

同理,使函数y=-3sin2x,x∈R取得最小值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}.

函数y=-3sin2x,x∈R的最大值是3,最小值是-3.

点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但这里最值对应的自变量x的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B的函数,一般通过变量代换(如设z=ωx+φ化归为y=Asinz+B的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用.

2.利用三角函数的单调性,比较sin(-)与sin(-)的大小.

解:因为-＜-＜-＜0,正弦函数y=sinx在区间［-,0］上是增函数,

所以sin(-)＞sin(-).

点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化