箱子的容积为V(x)＝x2×sin 60°×h

＝ax2－x3(0

则V′(x)＝ax－x2.

令V′(x)＝0，

解得x1＝0(舍)，x2＝a，

当x∈时，V′(x)>0；

当x∈时，V′(x)<0，

所以函数V(x)在x＝a处取得极大值，

这个极大值就是函数V(x)的最大值，

V＝a×2－×3＝a3.

所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，

最大容积为a3.

类型二　函数的最值与不等式的证明

例2　已知函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，a∈R.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.

(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a知，f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 2(1－ln 2＋a) ↗

故f(x)在区间(－∞，ln 2)上是减少的，在区间(ln 2，＋∞)上是增加的，

f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为2(1－ln 2＋a)，无极大值．