§1　函数的单调性与极值

1．1　导数与函数的单调性

学习目标　1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．

知识点一　导函数的符号与函数的单调性的关系

思考1　f(x)＝x2在(－∞，0)上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的，那么f′(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？

答案　当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.

思考2　y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与y＝f′(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？

答案　在区间(a，b)上，f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增加的；

在区间(a，b)上，f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上是减少的．

梳理　(1)在区间(a，b)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系：

导函数的正、负 函数的单调性 f′(x)>0 增加的 f′(x)<0 减少的 f′(x)＝0 常函数

(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：

函数的单调性 导函数的正、负 增加的 f′(x)≥0