解法二：圆x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心C的坐标为(0,1),半径长为,圆心C到直线l的距离d==＜.所以直线l与圆相交,有两个公共点.

由x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程①,得y1=0;把x2=1代入方程①,得y2=3.所以直线l与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是(2,0)和(1,3).

点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解.

例2 已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共点.

活动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价.我们知道,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.反过来,当已知圆与直线的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为b为何值时,方程组有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题.圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题,可转化为b为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题.

解法一:若直线l：y=x+b和圆x2+y2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,

则方程组有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,

消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,

所以Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=16-4b2.

所以,当Δ=16-4b2＞0,即-2＜b＜2时,圆与直线有两个公共点；当Δ=16-4b2=0,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当Δ=16-4b2＜0,即b＞2或b＜-2时,圆与直线没有公共点.

解法二：圆x2+y2=2的圆心C的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C到直线l:y=x+b的距离d=.

当d＞r时,即＞,即|b|＞2,即b＞2或b＜-2时,圆与直线没有公共点;