2019-2020学年苏教版选修2-2 利用导数求函数的最值 教案
2019-2020学年苏教版选修2-2   利用导数求函数的最值  教案第2页

① a⩽-1,对任意 x∈(0,1],gʹ(x)=(3ax^3-1)/x<0,g(x) 在 (0,1] 上递减,

g(x)_min=g(1)=a⩽-1,此时 g(x)∈[a,+∞),∣g(x)∣ 的最小值为 0,不合适题意.

② 当 a⩾1 时,对任意 x∈(0,1],gʹ(x)=(3ax^3-1)/x=0⇒x=∛(1/3a),

∣g(x)∣ 的最小值为 g(∛(1/3a))=1/3+1/3 ln(3a)⩾1,

解得:a⩾e^2/3.

故所求 a⩾( e^2)/3.

3. 函数 f(x)=x^3-3x^2+2 在区间 [-1,1] 上的最大值为 .

【答案】 2

4. f(x)=x^3-3x^2+2 在区间上 [-1,1] 上 的最大值是 (  ).

【答案】 2

5. 已知函数 p(x)=lnx+1,q(x)=e^x,若 q(x_1 )=p(x_2 ) 成立,则 x_2-x_1 的最小值为 .

【答案】 1

【分析】 设 q(x_1 )=p(x_2 )=y,则 x_1=lny,x_2=e^((y-1) ),所以 x_2-x_1=e^(y-1)-lny.

设 F(y)=e^(y-1)-lny,则 Fʹ(y)=e^(y-1)-1/y=0,所以 e^(y-1)=1/y,解出 y=1,

此时,F(y) 取得最小值 F(y)_min=1.

6. 函数 f(x)=x+2cosx 在 (0,π/2] 上取得最大值时,x 的值是 .

【答案】 π/6

【分析】 令 fʹ(x)=1-2sinx=0,得 sinx=1/2.

因为 x∈(0,π/2],

所以 x=π/6 唯一 极值点,且为极大值点.

7. 函数 f(x)=1/2 x-sinx 在区间 [0,π] 上的最小值为 .

【答案】 (π-3√3)/6