分析　可构造函数f(x)＝ln x－，由于f(1)＝0，故若能证明f(x)在(1，＋∞)上是增加的，即证明在(1，＋∞)上，导函数f′(x)>0恒成立即可．

证明　令f(x)＝ln x－，则有f(1)＝0.

因为f′(x)＝＋x＝>0，x∈(1，＋∞)，

所以函数f(x)在(1，＋∞)上是增加的，

又f(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0恒成立，

即ln x>－.

点评　证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)的一般方法：构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈(a，b)，分析F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与0的大小，进而说明F(x)>0在(a，b)内恒成立即可．

3．求参数的取值范围

例4　已知函数f(x)＝x3－ax2＋1.

(1)若函数f(x)的递减区间是(0,2)，求实数a的值；

(2)若函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，求实数a的取值范围．

分析　注意正确区分"在某区间单调"和"单调区间"的概念，避免混淆．

解　(1)由f(x)的递减区间为(0,2)可知，0与2是方程f′(x)＝3x2－2ax＝0的两根，

故有3×22－2a×2＝0，解得a＝3.

(2)因为函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，

所以f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)上恒成立，

即2a≥3x在区间(0,2)上恒成立．

因为x∈(0,2)，所以3x∈(0,6)，故2a≥6，即a≥3.

经验证a＝3时满足题意，

故a的取值范围为[3，＋∞)．

点评　若函数f(x)在区间D上是增加的(减少的)，则有f′(x)≥0(f′(x)≤0)对x∈D恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解．也可根据所给区间是递增(减)区间的子区间求解．