2018-2019学年北师大版选修2-3 正态分布 教案
2018-2019学年北师大版选修2-3    正态分布  教案第3页

 课题:正态分布学案(第7讲)

【教学目标】

(1) 了解连续型随机变量的概念、连续型随机变量的分布密度函数及分布密度曲线;

(2) 理解正态分布的密度函数的性质,并能利用正态分布理解和认识生活中的随机现象;

(3)通过对正态分布在实际生活中的应用,进一步认识数学知识在解决实际问题中的作用

【教学重点】

正态分布在实际生活中的应用

【教学难点】

利用正态分布的相关知识,解释随机现象,解决实际问题

【教学方法】多媒体教学

【教学课时】2课时

■ 【教学流程】

一、课前预习指导:

  1.正态曲线的概念

  正态总体函数φμ,σ(x)= e-,x∈(-∞,+∞),其中μ表示总体平均值,σ表示标准差,函数的图象叫正态分布密度曲线,简称正态曲线.

  特例:当μ=0,σ=1时,函数表达式是f(x)=e-,x∈(-∞,+∞),相应的曲线称为标准正态曲线.

  2.正态分布

  (1)一般地,若对于任何实数,a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,则称X服从正态分布.

  (2)正态分布记作:N(μ,σ2),若X服从正态分布,记作X~N(μ,σ2).正态分布完全由参数μ和σ确定,若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2,=σ.

  3.正态曲线的特点

  正态曲线φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞)有以下性质:

  (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;

  (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;

  (3)曲线在x=μ处达到峰值;

  (4)曲线与x轴之间的面积为1;

  (5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;

  (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越"瘦高",表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越"矮胖",表示总体的分布越分散.

  如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线N(0,σ2)图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系如何?

  4.正态分布的3σ原则

  (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

  P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682_6,

  P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954_4,

  P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997_4.

  (2)3σ原则

  在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.正态总体几乎取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间外取值的概率只有0.002 6,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.

二、新课学习

  【例1】 如图所示,是一个正态曲线.试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差.

  

  【例2】 设ξ~N(1,22),试求:

(1) P(-1<ξ≤3);(2)P(3<ξ≤5);(3)P(ξ≥5).

  【例3】 设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.

备注:

课堂训练 

  在一次测试中,测量结果X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)内取值的概率为0.2,

  求(1)X在(0,4)内取值的概率;

  (2)P(X>4).

教学反思

练案

  

  1.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是(  )

  A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件

  B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件

  C.随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件

  D.随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),则P(ξ>4)=(  )