3．求焦点三角形面积

例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．

解　由已知得a＝2，b＝，

所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.

在△PF1F2中，由余弦定理得

|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，

即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①

由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，

即|PF2|＝4－|PF1|.②

将②代入①，得|PF1|＝.

所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°

＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.

点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.

从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．

2　如何求椭圆的离心率

1．由椭圆的定义求离心率

例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．

解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°