即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.

这样,又可以得到数轴上两点的距离公式:

|AB|=|x2-x1|.

【例2】 已知轴上三点A,B,C,且AC=2,BC=-2,则AB等于( )

A.0 B.4 C.-4 D.非上述答案

解析：AB=AC-BC=2-(-2)=4.

答案:B

类题演练 2

已知数轴上两点M,N,且|MN|=4,若xm=-3,则xn等于( )

A.1 B.2 C.-7 D.1或-7

解析:据数轴上两点间的距离公式,得|MN|=|xn-xm|=4,

又xm=-3,∴|xn+3|=4.

∴xn=1或-7.

答案:D

变式提升 2

A,B,C,D是轴上任意四点,求证:AB+BC+CD+DA=0.

证明:设轴l上的点A,B,C,D的坐标分别为x1,x2,x3,x4,

则AB+BC+CD+DA=(x2-x1)+(x3-x2)+(x4-x3)+(x1-x4)=0.

故原题得证.

三、三点共线问题

【例3】 如图所示,在ABCD中,=a,=b,M是AB中点,点N是BD上一点,| |=||.

求证:M、N、C三点共线.

思路分析:将点共线问题转化成向量共线问题,即证明=3.

证明:∵=a,=b,∴=-=a-b.

∴=+=b+=b+(a-b)=a+b=(2a+b).

又∵=+=b+a=(2a+b),

∴=3.

又与有共同起点,

∴M、N、C三点共线.

温馨提示

几何中证明三点共线,通常以三点为起点和终点确定两个向量,然后看能否找到唯一的