环节二：

二、观察思考，归纳抽象，形成概念；

1.以y=x2函数的图像为例，让学生填表并观察表格特点

问题2.在函数值对应表是如何体现这些特征的？

问题3.你能用符号语言描述你的发现吗？

1偶函数的定义：

设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个，都有，则这个函数叫做偶函数

　　偶函数的图像关于y轴对称

概念辨析1.观察下面的函数图象，判断函数是不是偶函数?

结论：如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它的定义域应该关于原点对称.

2.下面两个函数是偶函数吗？

问题4.你有新的发现吗？

问题5.你能由我们推导偶函数的方法和

步骤， 归纳出奇函数的定义吗？

　奇函数的定义：

设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个，都有，则这个函数叫做奇函数。

三、学以致用

例1.判断下列函数的奇偶性并证明：

(1) f(x)＝； (2) f(x)＝－3x2＋1；

(2) f(x)＝－3x2＋1；

(3) f(x)＝ (4) f(x)＝0；

(4) f(x)＝0； (5) f(x)＝.

分析：根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域 是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是 否满足奇偶性的条件．

[解析](1)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＝－＝－f(x)，∴y＝是奇函数．

(2)函数y＝－3x2＋1的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－3(－x)2＋1＝－3x2＋1＝f(x)，∴y＝－3x2＋1是偶函数．

(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．

当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，

当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，

∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．

(4)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)， ∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．

(5)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．

例2.已知偶函数f(x)(图(1))和奇函数g(x)(图(2))在y轴右边的一部分图象，试根据偶函数和奇函数的性质，分别作出它们在y轴左边的图象．

探究1.奇、偶函数的图象有什么对称性？

探究2.画对称图象时关键点是哪些点？

[解析](1)根据偶函数图象关于y轴对称的性质， 画出 函数在y轴左边的图象，如图(1)． (2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质，

画出函数在y轴左边的图象，如图(2)．

变式练习

(1)如图①是奇函数y＝f(x)的部分图象，

则f(－4)·f(－2)＝_______.

(2)如图②是偶函数y＝f(x)的部分图象，

比较f(1)与f(3)的大小的结果为______．

[解析]　(1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2)， ∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)，∴f(－4)·f(－2)＝(－2)×(－1)＝2.

(2)∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)，

∴f(3)>f(1)．

例3.已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时， f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式， 并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．

探究1.如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到 (0，＋∞)上的已知解析式？

探究2.奇函数f(x)在x＝0处的函数值是多少？

[分析]由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数。利用奇函数性质可求得解析式．

[解析]　∵函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0，

设x＜0，则－x＞0，∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)

＝－x2－2x－3

先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象．如下图．

由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]、 [1，＋∞)，单调递减区间是[－1,0)、(0,1]．