提出问题

①平面向量的数量积能否用坐标表示?

②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?

③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？

④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？

活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:

∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,

∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.

又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ0,

∴a·b=x1x2+y1y2.

教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:

1°平面向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,

即a=(x1,y1),b=(x2,y2),

则a.·b=x1x2+y1y2.

2°向量模的坐标表示

若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=.

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么

a=(x2-x1,y2-y1),|a|=.

3°两向量垂直的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

a⊥bx1x2+y1y2=0.

4°两向量夹角的坐标表示

设a.、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得

cosθ=

讨论结果:略.

应用示例

思路1

例1 已知A.(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△A.BC的形状,并给出证明.

活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形