我们通过观察函数图象的特征来研究函数的性质：

图象特征 函数性质 a＞1 0＜a＜1 A＞1 0＜a＜1 向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点(0，1) a0=1 自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 x＞0,ax＞1 x＞0,ax＜1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 x＜0,ax＜1 x＜0,ax＞1 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

(1)在[a,b]上，f(x)=ax(a＞0且a≠1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

(2)若x≠0，则f(x)≠1；f(x)取遍所有正数当且仅当x∈R；

(3)对于指数函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)，总有f(1)=a；

(4)当a＞1时，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2).

应用示例

思路1

例1 指数函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)的图象经过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值.

分析：要求f(0)、f(1)、f(-3)的值，我们需要先求出指数函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)的解析式，也就是要先求a的值.根据函数图象经过定点(3,π)这一个条件，可以求得底数a的值.

解：设f(x)=ax(a＞0,且a≠1)，

因为f(x)=ax(a＞0,且a≠1)的图象经过点(3,π)，

所以f(3)=π，即a3=π，解得a=π，

于是f(x)=π，

所以，f(0)=π0=1，f(1)=π=，f(-3)=π-1=.