21·7k

＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，

由假设知，(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为18k·7k＋27·7k能被9整除，所以当n＝k＋1时，命题成立．

由①②知，对一切n∈N*，(3n＋1)·7n－1都能被9整除．

类型二　几何问题

例2　平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数为f(n)＝.

证明　①当n＝2时，两条直线的交点只有一个，

又f(2)＝×2×(2－1)＝1，

∴当n＝2时，命题成立．

②假设n＝k(k>2，k∈N*)时，命题成立，

即平面内满足题设的任何k条直线交点个数为

f(k)＝k(k－1)，

那么当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)，

l与其他k条直线交点个数为k，

从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，

即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k

＝k(k－1＋2)

＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，

∴当n＝k＋1时，命题成立．

由①②可知，对任意n∈N*，n≥2，命题都成立．

反思与感悟　用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．

跟踪训练2　平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．

证明　①当n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；

②假设当n＝k(k∈N*)时，

被分成f(k)＝k2－k＋2部分，