题型二 费用最省问题

　　例3某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.

　　（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

　　（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.

思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.

　　解:（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).

（Ⅱ）因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时, 该容器的建造费用最小.

　　规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.

　　变式训练2 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?

题型三 利润最大问题

例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数,已