2018-2019学年人教A版选修4-5 第二讲一比较法 学案(1)
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  作差比较法证明不等式的技巧

  (1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.

  (2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.

  (3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号. 

   1.若a>b>c,求证bc2+ca2+ab2

  证明:bc2+ca2+ab2-(b2c+c2a+a2b)

  =(bc2-c2a)+(ca2-b2c)+(ab2-a2b)

  =c2(b-a)+c(a-b)(a+b)+ab(b-a)

  =(b-a)(c-a)(c-b).

  因为a>b>c,

  所以b-a<0,c-a<0,c-b<0,

  所以(b-a)(c-a)(c-b)<0,

  所以bc2+ca2+ab2

  2.设x为实数,求证:(x2+x+1)2≤3(x4+x2+1).

  证明:因为右-左=2x4-2x3-2x+2=2(x-1)·(x3-1)=2(x-1)2(x2+x+1)=2(x-1)2·≥0,

  所以,原不等式成立.

  

 作商比较法[学生用书P26]