因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，

所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．

因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2

＝3x2≥0，当且仅当x＝0时"＝"成立，

所以f(x)在R上是增加的，

所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，所以－1≤a≤.

题型一　利用导数研究函数性质

例1 (2018·沈阳质检)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.

(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；

(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．

解　(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，

可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，

所以g′(x)＝－2a＝.

当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)是增加的；

当a＞0，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)是增加的，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)是减少的．

所以当a≤0时，函数g(x)的递增区间为(0，＋∞)；

当a＞0时，函数g(x)的递增区间为，

递减区间为.

(2)由(1)知，f′(1)＝0.

①当a≤0时，f′(x)是增加的，

所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)是减少的，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增加的，