题点 利用导数求几何体体积的最值问题

解 ∵V(x)＝(x)2×(60－2x)×2(2)

＝x2×(60－2x)＝－2x3＋60x2(0

∴V′(x)＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．

令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.

∵当00；

当20

∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．

∴底面边长为x＝20(cm)，

高为(30－x)＝10(cm)，

即高与底面边长的比值为2(1).

引申探究

本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

解 ∵AE＝x，∴HE＝x.

∵EF＝60－2x，

∴EG＝2(2)EF＝2(2)(60－2x)＝(30－x)．

∴S侧＝4×HE×EG＝4×x×(30－x)

＝8x(30－x)＝－8x2＋240x

＝－8(x－15)2＋8×152.

∴当x＝15时，S侧最大为1 800 cm2.

反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．

跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．

考点 利用导数求几何模型的最值问题

题点 利用导数求几何体体积的最值问题

(2)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.

考点 利用导数求几何模型的最值问题

题点 利用导数求面积的最值问题

答案 (1)3π(6πS) (2)4＋π(100π)