1．观察、归纳、猜想、证明的方法

　　剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．

　　在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．教材例1中若只观察前3项：a1＝1，b1＝2a1＜b1；a2＝4，b2＝4a2＝b2；a3＝9，b3＝8a3＞b3，从而归纳出n2＞2n(n∈N＋，n≥3)是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．

　　2．从"n＝k"到"n＝k＋1"的方法与技巧

　　剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中，从"n＝k"到"n＝k＋1"的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从"n＝k"到"n＝k＋1"，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及"放缩"的问题，它可能需要通过"放大"或"缩小"的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用"比较法""综合法""分析法"等来分析从"n＝k"到"n＝k＋1"的变化，从中找到"放缩尺度"，准确地拼凑出所需要的结构．

　　题型一 用数学归纳法证明有关函数中的不等关系

　　【例1】 已知f(x)＝.对于n∈N＋，试比较f()与的大小并说明理由．

　　分析：先通过n取比较小的值进行归纳猜想，确定证明方向，再用数学归纳法证明．

　　反思：利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向．再用数学归纳法证明结论成立．

　　题型二 数学归纳法在解决有关数列问题中的应用

　　【例2】 已知数列{an}满足：a1＝，且an＝(n≥2，n∈N＋)．

　　(1)求数列{an}的通项公式；

　　(2)求证：对一切正整数n，不等式a1a2...an＜2n！恒成立．

　　分析：(1)由题设条件知，可用构造新数列的方法求得an；(2)可以等价变形，视为证明新的不等式．

　　反思：本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，"要证明......"，"只需证明......"，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的．

　　题型三 用数学归纳法证明不等式

　　【例3】 设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．

分析：这类问题，一般都是将Pn，Qn转化到具体的Pn，Qn开始观察，以寻求规律，